11 Ротор векторной функции и его физический смысл
Рассмотрим электростатическое поле
.
Пусть
- граница некоторой поверхности
(рис.28).
Рис. 28
Рассмотрим отношение циркуляции вектора
к площади
.
Напомним, что циркуляция
равна:
-
- линейный интеграл вектора
по кривой
,т.е.
по замкнутому контуру. Оказывается, что
это отношение стремится к некоторому
пределу при
,
причем этот предел зависит от ориентации
контура в данной точке пространства.
Ориентация контура задается вектором
нормали к плоскости контура, причем
направление
связано с направлением обхода по контуру
правилом правого винта.
Предел отношения циркуляции вектора
по контуру к ограниченной им площадке,
стягиваемой к нулю, есть проекция
некоторого вектора на направление
нормали
.
Этот вектор называют ротором (вихрем)
вектора
и
обозначают
.
Таким образом,
, (1.61)
где
- проекция вектора
на нормаль
(рис. 29).
Рис. 29
Итак, в каждой точке векторного поля
имеется вектор
,
направление и модуль которого связаны
со свойствами самого поля в данной
точке. Формула (1.61) годится для любого
векторного поля.
В математике получают выражение для
в координатном представлении.
Формально
можно рассматривать как векторное
произведение
на вектор
,
т.е. как
.
Оно позволяет записать векторное
произведение
с помощью определителя:
(1.62)
Теорема Стокса
От циркуляции вокруг бесконечно малого
участка поверхности перейдем к циркуляции
вокруг первоначальной большой петли
(рис. 28). В соответствии с (1.61) циркуляции
вектора
по контуру, ограничивающему
,
может быть представлена в виде:
, (1.63)
где
- положительная нормаль к элементу
поверхности
.
Просуммировав выражение (1.63) по всем
,
получим циркуляцию вектора
по контуру
,
ограничивающему
:
.
Наконец, осуществив предельный переход,
при котором все
стремятся к нулю, придем к формуле:
. (1.64)
Соотношение (1.64) носит название теоремы
Стокса: циркуляция вектор
по произвольному контуру
равна потоку вектора
через произвольную поверхность
,
ограниченную данным контуром.
Как было показано в параграфе 6, в
электростатическом поле
(см. формулу (1.36)), отсюда следует, что
т.е.
(1.65)
Уравнение
является достаточным условием для
потенциальности поля, т.е. для того,
чтобы поле можно было описать градиентом
некоторой потенциальной функции
.
Нетрудно показать, что
.
Действительно,
12 Уравнения электростатического поля в вакууме в интегральной и дифференциальной формах. Уравнение Пуассона. Уравнение Лапласа
1. Теорема Гаусса:
или
(1.66)
причина – заряд, следствие – электростатическое поле.
2. Теорема о циркуляции вектора :
или
(1.67)
Это означает, что электростатическое поле безвихревое, потенциальное, в нем нет замкнутых силовых линий.
Решая уравнения (1.66) и (1.67), можно найти
,
,
в каждой точке пространства, т.е. полностью
воссоздать картину векторного поля
в зависимости от распределения его
источников.